Pierre de Fermat je svoj zadnji teorem zapisal na rob neke knjige, pri tem pa dodal, da je dokaz teorema čudovit, a da zanj na tistem mestu ni dovolj prostora. To se je zgodilo leta 1637.
Andrew Wiles je leta 1995, oziroma 358 po Fermatovi objavi, uspešno dokazal teorem, ki je bil vso moderno zgodovino ena najbolj obleganih matematičnih ugank.
Teorem pravi, da enačbe an + bn = cn za n>2 ni mogoče rešiti s celimi števili.
Rešitev za n=2 poznamo vsi, saj gre za Pitagorov izrek, že za 3 in vse višje potence pa rešitve ni več. Z dokazovanjem tega teorema si je glavo razbijalo daleč največ pravih in wanabee matematikov skoraj celih 400 let.
Problem Wilesove rešitve je v tem, da je izjemno tehnična in še zdaleč ni elegantna, slednje pa je eno od vodil matematike odkar jo imamo.
Enostavne rešitve sam nimam, še manj pa razumem modularne eliptične krivulje, ter Tanayama-Shimurove domneve, vseeno pa me zanima, kam pelje naslednji premislek.
Če bi cela števila a, b in c zapisal kot dvojice realnih ter imaginarnih števil, recimo a=Ar+i*Ai, pri čemer je Ar realni, Ai pa imaginarni del, ter bi enako storil za b in c, potem bi enačba za 2. potenco izgledala takole:
(Ar+iAi)2 + (Br+iBi)2 = (Cr+iCi)2
ter nato:
Ar2 – Ai2+i2ArAi + Br2 – Bi2+i2BrBi = Cr2 – Ci2+i2CrCi
potem lahko to enačbo razbijemo dve enačbi, eno realno in drugo imaginarno, ob tem pa ju še malo preoblikujemo:
realna: Ar2 + Br2 – (Ai2+ Bi2) = Cr2 – Ci2
imaginarna: ArAi+BrBi =CrCi
Realna enačba je nedvomno rešljiva, saj če lahko najdemo rešitev za a2 + b2 = c2, potem jo lahko tudi za Ar, Br in Cr, ter Ai, Bi in Ci. Rešitev imaginarne enačbe nas ne zanima, dokler se ne vpleta v realni del, saj je Fermatov teorem tudi postavljen v realnem delu.
Pri n=3 pa se pojavi težava, ki tudi pri višjih potencah ne izgine več, ampak se le še stopnjuje. Poglejmo, kaj se zgodi:
(Ar+iAi)3= (Ar+iAi)(Ar2 – Ai2+i2ArAi)=Ar3-ArAi2+i2Ar2Ai+iAiAr2-iAi3-2ArAi2=Ar3-3ArAi2+i3Ar2Ai-iAi3
Težava je seveda v tem, da se nam v enačbo “zaredijo” mešani členi. Poglejmo si le realni del enačbe a3 + b3 = c3:
Ar3-3ArAi2+Br3-3BrBi2=Cr3-3CrCi2
Če bi držalo a3 + b3 = c3, potem bi lahko Ar, Br in Cr izbrali tako, da zanje to tudi drži, in bi nam potem ostalo:
ArAi2+BrBi2=CrCi2
Če dokažemo, da slednje ni mogoče in da sledi to, da kakršnokoli mešanje realnih in imaginarnih členov povzroči težave, potem bi bil Fermatov teorem dokazan. Pri višjih potencah je število mešanih členov še večje.
Od tu naprej si pomagam s komutiranimi pari iz kvantne teorije, ki pravi, da lahko izberemo takšne dvojice količin, kjer je nedoločenost dvojic (lokacija&gibalna količina, enegija&čas) vedno večja od določene minimalne neničelne količine. Drugače povedano, produkt nedoločnosti količin je vselej večji od nič. Če bi to načelo prenesel v izbor realnega in imaginarnega dela števila, obenem pa bi postuliral, da morata biti v razmerju komutiranega para, potem zagotovo zadnja zgoraj navedena enačba ni več rešljiva. Ker vedno ostaja nedoločnost, ki je ni mogoče več izbrisati iz enačbe. S pametno definicijo para in njunega odnosa bi lahko trdil, da je Fermatov teorem dokazan.
Če bi to držalo, bi bile posledice strahotne. Trdil bi namreč, da ni nedoločena in s tem nečista le kvantna realnost, ampak bi s to trditvijo okužil tudi najbolj čisto od ved, matematiko. S tem bi trdil, da ima vsako število svoj temni nedoločni jaz, ki se skriva v ozadju in je pripravljen ugrizniti.
In prav v tem je lepota trditve o komutiranosti parov realnih in imaginarnih števil. Na enostaven način pokažejo, zakaj so težave pri potencah večjih od dva v Fermatovem teoremu. Slednji pa je dokazan. Ergo, matematika ni več brezmejno absolutna.
February 25, 2010 at 09:41
@Gregor K
a) ravno rešljivost za cela števila je problematična
b) ne
c) ni nujno lari fari, tvoj argument je pavšalen
February 24, 2010 at 19:39
Ubistvu mi je bolj mal jasno, mi srednješolske osnove ne zadostujejo. Ubistvu mi ni jasno sam tole:
a) zakaj to ni rešljivo s celimi števili, je to kaka razlaga al ostaja tut to skrivnost?
b) a ni slučajno “po defaultu” to nemogoče, glede da ta odnos definira odnos med dvema (!) spremenljivkama in izhaja ta omejitev (do 2) ravno iz slednjih?
c) a ni rešitev z imaginarnimi pari lari fari?
Upam d nism tečn….sam jz bi pač številko, da bi bil srečen:)
February 24, 2010 at 12:48
@Gregor K.
Da je stvar posebnost je jasno vsakemu z malo matematične izobrazbe, kar pa res ni javna zadeva. Verjemi mi, da je. Že to, da sta si na tem celo življenje razbijala glavi Gauss in Leibniz pove dosti.
Bistvo mojega premisleka je, da ne rešujemo posamično potenc najprej za 3, pa za 4 pa tako naprej, ampak ponudim idejo, kako pojasniti zakaj so problemi od 3 in naprej. Tu pridejo prav mešani pari, ki nastanejo ko narediš n-to potenco binoma (aka izraza z dvema členoma). Mešani pari so neničelni od potence 3 naprej. In to je to. V bistvu ne dokazujem Fermatovega teorema, ampak dajem idejo, da se nekaj skriva za idejo komutativnih parov z realno in imaginarno komponento. Če je v ideji zrno soli, potem ji sledi premislek, zakaj je pomembno, da se realna in imaginarna komponenta “zmešata” na tak način. Fermatov teorem pa je le elegantna vzpodbuda temu razmisleku.
Je to bolj jasno?
February 23, 2010 at 18:55
(no namen tega kontriranja je bil, da nam ki nimamo lih pojma razložiš po domače zakva je to kaka posebnost)
February 22, 2010 at 00:04
Priznam d sm se zgubu. Ampak kot laik ne štekam, zakaj bi bla to spoh uganka. Ne vidm kle nobene lepote (kot v nekaterih drugih zadevah ala Zlati rez). Verjetno je avtor pogruntu, da gre za nek odnos med dvema členoma, morda je tudi zato n>2 nemogoče. Ugibam. Zdj pa nagrada za miljon evrov… iščite, al obstaja kje kaka številka, kjer ta odnos ne vzdrži, no skor tko, kot bi ponudil nagrado za zadnjo decimalko korenov negativnega števila ali kake druge teoretično nemogoče zadeve. Popperjevi črni labodi, eat that…
Imaginarna številka so se mi pa že od nekdaj zdela zgrešena. Why sploh???? To je tko kot da bil mel gigantski geotrikotnik, velik miljarde kilometrov, in ga bi vrgel v bližini črne luknje, eno stičišče bi se ukrivilo v smer za 9876543°, pa bi rekli: “Eko, zdj smo pa določili imaginarno število in odnos zopet vzdrži”. Nobelovo prosm!